D.E.P.

D.E.P. = Docentes En Prácticas.

Magnifico Marina...

Evaluación del profesorado.

Está de moda hablar de evaluación del profesorado estos días. Yo tengo una teoría absurda, que por lo visto pocos comparten:

Tesis: Sin una evaluación fiable del alumnado es imposible realizar una evaluación fiable del profesorado.

El sentido de la palabra fiable es desde luego un asunto delicado que habría que debatir. Pero no comprendo cómo se habla tanto de evaluar al profesorado sin que tengamos un sistema nacional de evaluación serio (por serio me refiero a un sistema estandarizado, de ámbito nacional, distribuido en años clave del recorrido escolar) del alumnado. Es como poner el caballo detrás del carro. En fin, cosas mías...

Los libros de texto de Matemáticas no me gustan (I)

Inicio una serie de entradas que intentan explicar la razón de que no me gusten los libros de texto españoles de Matemáticas. Me centraré en la etapa de la ESO, por ser crucial en el asentamiento de los conocimientos fundamentales matemáticos que serán necesarios en etapas posteriores.

Razón 1: Las referencias a las propiedades básicas de los números y sus operaciones son nulas o muy escasas.

La respuesta a una época en la que se pecaba de excesivo formalismo en la enseñanza nos ha llevado a una época en la que se ignoran casi por completo las propiedades fundamentales de los números y de sus operaciones. Me refiero en particular a las propiedades de la suma y el producto de números reales:

• Propiedad conmutativa de la suma: $a+b=b+a$ para todo $a,b\in\mathbb R$
• Propiedad asociativa de la suma: $(a+b)+c=a+(b+c)$ para todo $a,b,c\in\mathbb R$
• Propiedad del elemento neutro de la suma: $a+0=0+a=a$ para todo $a\in\mathbb R$
• Propiedad del elemento opuesto de la suma: Para todo $a\in\mathbb R$ existe un número opuesto $(-a)$ tal que $a+(-a)=0$
• Propiedad asociativa del producto: $a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$ para todo $a,b,c\in\mathbb R$
• Propiedad conmutativa del producto: $a\cdot b=b\cdot a$ para todo $a,b\in\mathbb R$.
• Elemento neutro del producto: $a\cdot 1=1\cdot a=a$ para todo $a\in\mathbb R$
• Elemento inverso del producto: Para todo $a\neq 0$ existe un número inverso $1/a$ tal que $a\cdot 1/a=1$
• Propiedad distributiva: $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ para todo $a,b,c\in\mathbb R$

De todas ellas tan solo suele aparecer la existencia del opuesto y el inverso de un número y la propiedad distributiva por su importancia en el álgebra, pero siempre falta una visión completa y general de este grupo fundamental de propiedades. Las palabras conmutativa y asociativa han desaparecido completamente de muchos textos de secundaria, Esto es un pecado matemático. Evidentemente, el nivel de abstracción a la hora de abordarlas debe ir creciendo gradualmente, pero en un curso como 3º ESO podría iniciarse ya una aproximación más formal.

La completa ignorancia de estas leyes nos lleva a decir cosas en clase que, bien pensadas, son de una cierta pobreza matemática. Por ejemplo, he llegado a ver en algún texto, al abordar la jerarquía de las operaciones con números, cosas del tipo siguiente:

"Primero se realizan las multiplicaciones y divisiones (de izquierda a derecha), y a continuación se realizan las sumas y restas (de izquierda a derecha)."

¿Cómo calcular entonces la expresión $143-227-435+125-143+1+435-125+227$? 

¿De izquierda a derecha?¿Sumando primero los positivos, después los negativos, y realizando la resta a continuación? ¿O será mejor usar las propiedades asociativa, conmutativa y del elemento opuesto? La idea que quiero transmitir es la siguiente: A partir de cierto momento es conveniente presentar los principios formales sobre los que se sustenta la aritmética de los números, y ayudar así al desarrollo del pensamiento abstracto en el alumno. La manía actual de querer contextualizar todos los aprendizajes, manía que se refleja en nuestros libros de texto, usurpa al alumno un acercamiento más abstracto a conceptos y propiedades, y eso es precisamente ir en contra de la (verdadera) competencia matemática.

Más claro... ¡Agua!

Polonia ha sido uno de los países que más ha mejorado sus resultados en las pruebas PISA de los últimos años. Ningún país europeo ha obtenido un avance tan espectacular.

En la página web de su Ministerio de Educación se puede leer, en lo que respecta al éxito obtenido especialmente en la materia de Matemáticas, lo siguiente:

"I asked PISA experts how it happened that we have managed to achieve such good results within such a short period of time. It has turned out that the first step was proper arrangement of problems which will be solved at the lower secondary school leaving examination. It was enough to change expectations concerning what we want to achieve at the examination so that teachers change their methods of work with students. We have achieved this result also thanks to the fact that mathematics is again among important subjects. In consequence, many young people decide to start scientific studies. My best congratulations to all lower secondary school students. My best compliments to teachers who had such good classes. My best compliments to my predecessors – said Joanna Kluzik-Rostkowska, Minister of National Education."

http://men.gov.pl/en/success-of-polish-lower-secondary-school-students-global-results-from-pisa-2012-survey/

"He preguntado a los expertos en las pruebas PISA cómo hemos sido capaces de obtener un éxito tan notable en un periodo de tiempo tan corto. Resulta que el primer paso consistió en un ajuste de los problemas que los estudiantes deben resolver en su prueba final de educación secundaria inferior. Fue suficiente cambiar las expectativas relacionadas con lo que se debía conseguir al realizar esta prueba para que los profesores pudieran adaptar sus métodos de trabajo con los estudiantes. También hemos conseguido este éxito gracias a que hemos vuelto a colocar las matemáticas entre las materias fundamentales. Y esto ha llevado a muchos estudiantes a iniciar estudios científicos. Mis felicitaciones a todos los estudiantes de secundaria inferior. Mis felicitaciones a los profesores por su buen trabajo. - dijo Joanna Kluzik-Rostkowska, Ministra de Educación Nacional"

Puesto que no creo que en los últimos años hayan decidido cambiar toda la plantilla de profesores del país, imagino que la razón fundamental de este éxito puede atribuirse a:

(1) La existencia de pruebas estandarizadas al final de la etapa de secundaria.

(2) La adecuación de dichas pruebas a los contenidos que se evalúan en PISA.

Así de simple, al menos como punto de partida. Pero no, aquí no queremos saber nada de pruebas estandarizadas porque traumatizaríamos a nuestros alumnos (y quizás a algunos profesores). Lástima que este sencillo primer paso no aparezca recogido en el libro tan comentado últimamente de Jose Antonio Marina (Despertad al diplodocus), que por alguna extraña razón, entre tanta información educativa que aporta, ignora completamente el interesante caso de Polonia... 

Contextualizar

Se nos está insistiendo permanentemente a los profesores que debemos contextualizar nuestras enseñanzas. Esto se aplica a todas las disciplinas. Incluidas las Matemáticas. Pero la gracia de las Matemáticas está precisamente en... ¡aprender a de-contextualizar!

Si me hubieran enseñado matemáticas siempre contextualizadas... posiblemente me habría dedicado a otra cosa.

El papel de la memoria

"Così ho anche capito, in un lampo -e poi la vita mi ha sempre confermato quell'intuizione-, perché vale la pena imparare a memoria: perché la memoria è questa capacità incredibile che l'uomo ha per cui al momento giusto -come è accaduto a me quel giorno sulle scale- va a pescare quella citazione, quel verso, quella poesia, quell'immagine capace di illuminare l'esperienza presente. E così il presente è vivificato dalla memoria, il cuore si commuove di nuovo. Ricordare vuol dire -con un'etimologia forse un po' azzardata- ridare, riconsegnare al cuore. Del resto in bergamasco per dire "mi viene in mente" si dice  "ma 'e in cor", mi viene in cuore, mi torna nel cuore; imparare "a memoria" in francese si dice par coeur, in inglese by heart: entrambe le espressioni tradotte alla lettera significano "col cuore". Ma in tutte le lingue -mi dicono gli esperti- il verbo ricordare ha dentro la parola cuore: cuore, cioè rendere di nuovo presente. Ecco, la memoria è questa cosa incredibile, capace di rendere di nuovo presente un'esperienza, un incontro."

Franco Nembrini, "Dante: Il poeta del desiderio"

"Así he comprendido al instante -y después la vida siempre me ha confirmado esta intuición- por qué es importante aprender de memoria: Porque la memoria es esta capacidad increíble que posee el ser humano que nos permite en el momento justo -como me sucedió aquel día en la escalera-  rescatar aquella cita, aquel verso, aquella poesía, aquella imagen capaz de iluminar la experiencia presente. Y de este modo el presente queda vivificado gracias a la memoria, y el corazón de nuevo se conmueve. Recordar quiere decir -con una interpretación etimológica tal vez algo apresurada- devolver, entregar de nuevo al corazón. En bergamasco se dice "ma 'e in cor" para expresar "me viene en mente", me llega al corazón; aprender de memoria se dice en francés "par coeur", en inglés "by heart"; ambas expresiones se traducen literalmente por "de corazón". Pero en todas las lenguas -eso me dicen los expertos- el verbo recordar lleva dentro la palabra corazón: corazón, esto es, hacer de nuevo presente  una experiencia, un encuentro."

Una Europa. Dos almas.

Acabo de leer en un periódico italiano un texto sobre Europa que habla de las distintas sensibilidades de los pueblos que la conforman, y que tal vez explica en cierto sentido los problemas con los que nos enfrentamos estos días a raíz de la crisis griega. El autor es Roberto Pazzi. He realizado una traducción del artículo al español, que espero sea suficientemente legible.

El artículo original se puede encontrar aquí

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Nuestras dos almas

Mientras en Berlín y Atenas se consuma el duelo entre las Valkirias y las Gracias, puede ser útil releer al profético Tácito en su obra “Germania”. El historiador presagiaba ya, en la fuerza bárbara de los germanos, el futuro fin de la corrupta Roma, heredera de Grecia. Si en lugar de una superioridad física hablamos de una superioridad financiera, las cosas no han cambiado mucho que digamos. Y así Europa revive en la dureza política de Merkel y en el golpe de dignidad de Tsipras la antigua división entre el norte y el sur europeos, que a lo largo de la Historia ha resurgido bajo diversas apariencias. Los teutones y los latinos están hechos para enamorarse siempre y no estimarse jamás, para atraerse fatalmente y no comprenderse después. Nos lo recuerda el duelo entre el Imperio Germánico y el Papado latino, en el 1077, cuando el Papa Gregorio VII infligió la humillación de Canossa al emperador alemán Enrique IV. Nos lo recuerda después el alemán Lutero, en la Roma de 1511, escandalizado del mercadeo de las indulgencias, que el religioso no dudó en condenar y que provocó el cisma que divide hoy la Europa cristiana. Y la herida se vuelve a abrir en la amistad equívoca, insincera y terrible, entre Hitler y Mussolini, alianza innatural que devastó todo el continente, incluída Grecia, invadida por sus hermanos italianos.

La Grecia moderna debe haber recordado la gloriosa Hellas de hace 2500 años, cuando Leónidas detuvo en las Termópilas, con solo 300 soldados, la armada del Rey de Persia. Murió hasta el último guerrero espartano, para permitir que el ateniense Temístocles pudiera destruir en Salamina la flota de Jerjes. Y el mundo, por un momento, revive en el duelo entre el Berlín vencido y la Atenas victoriosa, un rayo de la victoria moral de la víctima, Héctor, sobre Aquiles. Sí, debemos a la Grecia de Homero incluso el patrimonio de metáforas que permite entendernos rápidamente mediante el mito, más inmediato que el razonamiento.

La cuestión de las dos almas europeas, la teutona y la latina, se mitifica poéticamente con la llegada del Romanticismo alemán, y así esta división se ha manifestado también en la Literatura. Por una parte Goethe, que idealiza la fuerza de atracción del Mediterráneo, en su “Viaje a Italia”. Por la otra el poeta Kleist, que idealiza la pureza de la Alemania de los bárbaros. Tal vez el núcleo de esta disonancia preestablecida entre europeos anglogermanos y mediterráneos se esconde en el carácter. La psiquis de Alemania está permanentemente tentada, como escribía Thomas Mann en “El doctor Fausto”, por el sueño luciferino de lo Absoluto. Un sueño embriagador donde el yo se diluye en el Todo. Ya sea el estado ético prusiano a la Hegel o el régimen nazista del Reich, ya sea el mito del origen o la dictadura del proletariado de Marx. Un nirvana donde la conciencia individual se disuelve y finalmente sana.

La civilización mediterránea griega y latina, sin embargo, se fermenta en el pensamiento de Heráclito,  en “el carácter es el destino de un hombre”. Y esto hace de los latinos un pueblo de incurable individualismo, reticente a cualquier sueño de absoluto, incluyendo el de tipo cristiano. Viviendo la fe católica como un velo que cubre el culto pagano a la belleza y a la gloria. Ya se trate de un éxito científico o artístico, o de la necesidad de un “Yo” excepcional, del héroe griego Ulises o de San Agustín, en ellos palpita el sueño de distinguirse de la masa. Estando convencido de que la riqueza de Europa es precisamente esta amplia diversidad de miradas, resulta si cabe más amargo asistir una vez más a este desencuentro entre dos espíritus que no se comprenden.

Roberto Pazzi.

Educación Matemática, Informe PISA y Finlandia

George Malaty es un experto en Educación Matemática de origen ruso que conoce bien el sistema educativo finlandés. A raíz del éxito que este país ha obtenido en las pruebas PISA durante los últimos años, Malaty ha reflexionado con profundidad en el fenómeno, escribiendo diversos artículos sobre el asunto. En uno de ellos aparece una carta, refrendada por una amplia comunidad de matemáticos del país, donde el panorama que se presenta respecto al nivel matemático de los estudiantes finlandeses no es tan espectacular como a menudo podemos pensar. Incluyo el texto de esta carta, junto a una traducción libre de la misma.

The PISA survey tells only a partial truth of Finnish children’s mathematical skills

" The results of the PISA survey (http://www.pisa.oecd.org) have brought about satisfaction and pride in Finland. Newspapers and media have advertised that Finnish compulsory school leavers are top experts in mathematics.

However, mathematics teachers in universities and polytechnics are worried, as in fact the mathematical knowledge of new students has declined dramatically. As an example of this one could take the extensive TIMSS 1999 survey, in which Finnish students were below the average in geometry and algebra. As another example, in order not to fail an unreasonably large amount of students in the matriculation exams, recently the board has been forced to lower the cut-off point alarmingly. Some years, 6 points out of 60 have been enough for passing.

This conflict can be explained by pointing out that the PISA survey measured only everyday mathematical knowledge, something which could be - and in the English version of the survey report explicitly is - called “mathematical literacy”; the kind of mathematics which is needed in high-school or vocational studies was not part of the survey. No doubt, everyday mathematical skills are valuable, but by no means enough. Out of the 85 assignments in the survey about 20 have been published. The assignments are simple numerical calculations, minor problems or deductions, interpretation of statistical graphics and evaluation of situations where text comprehension is an essential part. However, hardly any algebra or geometry is included. Nevertheless, the assignments are well in agreement with the goals of the survey; in fact, the goal was to study everyday mathematical knowledge.

The PISA-survey leaves us, thus, with unanswered questions regarding many skills, like computing with fractions, solving elementary equations, making geometrical deductions, computing volumes of solid objects, and handling algebraic expressions. Still algebra is perhaps the most important subtopic in mathematical studies after the compulsory comprehensive school. In comprehensive school, the goal should be to learn the basic concepts of mathematics so that they can be used as a basis for more. Even the use of calculators does not change this situation: although calculators nowadays might be able to handle fractions, manual computation is essential to master since it is part of the foundations in handling algebraic expressions. Further study becomes impossible if the basics are not learned properly.

One reason for the increase of poor standards in the matriculation exam and in the beginning of university studies is, undoubtedly, the weakness of the foundation received in the comprehensive school. New, more difficult concepts are hard to learn because still in upper secondary school much energy is spent in reviewing concepts that should have been learned in the comprehensive school. This vicious circle continues in tertiary education: the high-school concepts are not properly learned, and further learning becomes more difficult. The PISA survey provides us with useful information regarding the mathematical literacy needed in everyday life and the ability to solve simple problems. These skills are simply not enough in a world which uses and utilizes mathematics more and more.

A proper mathematical basis is needed especially in technical and scientific areas, biology included. The PISA survey tells very little about this basis, which should already be created in comprehensive school. Therefore, it would be absolutely necessary that, in the future, Finland would participate also in international surveys which evaluate mathematical skills essential for further studies."

Kari Astala et al. (2006)

El informe PISA sólo cuenta una verdad parcial sobre las habilidades matemáticas de los niños finlandeses.

Los resultados del informe PISA (http://www.pisa.oecd.org) nos han llenado de satisfacción y orgullo en Finlandia. Los periódicos y otros medios de comunicación anuncian que los estudiantes que terminan su etapa de educación secundaria obligatoria son grandes expertos en matemáticas.

Sin embargo los profesores de  las universidades y las escuelas de ingenieros están preocupados, tras constatar que el conocimiento matemático de los nuevos alumnos ha descendido dramáticamente. Como ejemplo de este hecho puede citarse el extenso informe TIMSS 1999, en el que los estudiantes finlandeses se encuentran por debajo de la media en materias como la geometría y el álgebra. Otro ejemplo se ha producido al tener que bajar alarmantemente las notas de corte en los exámenes de ingreso  para no suspender a un número excesivo de aspirantes. En algunos años, han bastado 6 puntos de 60 para poder aprobar.

Este situación aparentemente contradictoria puede explicarse si tenemos en cuenta que el informe PISA mide tan solo un conocimiento matemático básico, cotidiano, algo que los ingleses suelen denominar "mathematical literacy"; el tipo de matemáticas que es necesario para proseguir estudios en el bachillerato o en las escuelas técnicas no forma parte de este informe. Sin lugar a dudas, las matemáticas necesarias en la vida cotidiana son importantes, pero en absoluto pueden considerarse suficientes.

De los 85 items de la prueba PISA se han publicado unas 20. Las preguntas consisten en cálculos numéricos sencillos, deducciones y problemas de poca dificultad, interpretaciones de gráficos estadísticos y evaluaciones de situaciones en las que la comprensión del texto es una parte esencial del ejercicio. Sin embargo, apenas puede decirse que estén presentes el álgebra o la geometría. A pesar de esto, los ejercicios se corresponden bien con los objetivos del estudio; de hecho, se trata de analizar el conocimiento de las matemáticas de la vida cotidiana.

El informe PISA, por tanto, nos deja sin respuestas respecto a muchas habilidades, como pueden ser la capacidad de calcular con fracciones, resolver ecuaciones elementales, realizar deducciones geométricas, calcular volúmenes de objetos sólidos o manejar expresiones algebraicas. Y el álgebra es quizás la rama de las matemáticas más importante para aquellos que prosiguen sus estudios tras la educación obligatoria.

En la educación obligatoria, el objetivo debería consistir en aprender los conceptos básicos de las matemáticas de tal modo que sirvan como base para ir a más. Incluso el uso de las calculadoras no cambia este hecho; aunque las calculadoras pueden manejar fracciones, el dominio de su cálculo manual es esencial, puesto que es parte indispensable para manipular expresiones algebraicas. Es imposible profundizar en el estudio de las matemáticas si estos elementos básicos no son aprendidos apropiadamente.

Una de las razones que explican el bajo nivel de exigencia en los exámenes de ingreso en la universidad se debe, indudablemente, a la debilidad de los conocimientos fundamentales que los alumnos adquieren en la educación obligatoria. Conceptos nuevos y de mayor dificultad son difíciles de aprender, y todavía en bachillerato se dedica mucha energía a repasar conceptos que deberían haber sido asimilados en etapas previas. Este círculo vicioso continúa en la educación terciaria: los conceptos del bachillerato no se adquieren con la suficiente solidez, y eso dificulta los nuevos aprendizajes en la universidad. El informe PISA nos ofrece información interesante respecto a las matemáticas de la vida cotidiana y a la capacidad de resolver problemas sencillos, pero estas habilidades no son suficientes en un mundo que utiliza las matemáticas cada vez más y más.

Un fundamento matemático adecuado es necesario en áreas científicas y técnicas, incluyendo la biología. El informe PISA no nos dice gran cosa sobre este fundamento, que debería haberse forjado durante el periodo de escolarización obligatoria. Por tanto, sería imprescindible que Finlandia participara también en informes internacionales que evalúen destrezas matemáticas esenciales para proseguir estudios posteriores.

Kari Astala et al. (2006)

Sobre la educación en Japón

El siguiente documental ofrece un acercamiento a la sociedad japonesa y a su concepción de la escuela. Agradecería que si vieran algún parecido con nuestra concepción de la escuela me lo hicieran notar mediante un comentario (pero no lo van a tener fácil...).

Un texto de Oriol Prunés

Hace años leí un artículo sobre nuestro sistema educativo de Oriol Prunés que citaba un ensayo de Jean Francoise Revel titulado "El conocimiento inútil". Siempre me pareció que este artículo diagnosticaba muy bien las raíces ideológicas que nos habían llevado al sistema educativo que  disfrutamos/padecemos ahora.  También despertó mi curiosidad sobre la obra de Revel, y me hice con el ensayo que citaba. Y me pareció magnífico.

Mucho tiempo después, a través de internet intenté recuperar el artículo de Oriol, pero me fue imposible. Afortunadamente, lo había guardado entre las páginas de un libro, y cuando me tropecé casualmente de nuevo con él me apresuré a escanearlo y archivarlo en mi ordenador. Se puede acceder a su lectura a través del siguiente enlace :

"De falacias y pedagogía" (Oriol Prunés)

La Historia y los números.

"Hay tres cosas importantes en la Historia: En primer lugar el número, en segundo lugar el número, y en tercer lugar el número. Eso quiere decir, por ejemplo, que los negros de Sudáfrica acabarán un día cualquiera por ganar, mientras que probablemente los negros de Norteamérica no lo conseguirán jamás. Esto significa que la historia no es una ciencia moral. El derecho, la compasión y la justicia son nociones ajenas a la Historia."

De "El Declive del Imperio Americano", de Dennys Arcand

Tal vez esta afirmación que aparece al inicio de la película de Arcand es  algo excesiva (después de todo, ¿no tiene EEUU hoy en día un presidente negro? Aunque ya sabemos que los problemas raciales continúan... ). Pero a veces, llevado por mi deformación profesional, tengo la sensación de que los números determinan la Historia, a menudo más que los principios políticos, las ideologías, las creencias, las utopías.

Leo en una página web sobre demografía en Europa:

"Europe's share of the world population was 21 per cent in the year 1800. It rose to 27 percent in the year 1900 when Europe was at the peak of its power. In the year 2100, Europe's population will be about 7 per cent of the world total. Whatever aspiration for the world that the Europeans may have for the coming millennium, it will be the aspiration of a small minority. The image of Europe is bound to include exclusive and perhaps privileged qualities rather than universal ones" (http://www.zetterberg.org/Lectures/l96b.htm)

"La proporción de la población europea respecto a la población mundial en el año 1800 era del 21 por ciento. Esta proporción aumentó al 27 por ciento en 1900, época en la que el continente se encontraba en la cima de su poder. Para el año 2100 se estima que la población europea representará el 7 por ciento de la población mundial. Cualquier aspiración que Europa pueda tener de cara a su papel en el mundo en este milenio será la aspiración de una pequeña minoría. La imagen de Europa estará ligada a valores exclusivos, tal vez privilegiados, y no a cualidades universales" (http://www.zetterberg.org/Lectures/l96b.htm)

Los números importan.

España, o la imprevisible virtud de la ignorancia

Los resultados de las últimas elecciones autonómicas y municipales en España suponen un verdadero cambio en el panorama político español, al menos en cuanto a los partidos y representantes políticos nuevos que han resultado elegidos en esta ocasión. No me atrevo a predecir si este cambio ayudará a mejorar nuestra calidad democrática o si, por el contrario, supondrá tan sólo un relevo generacional sin que el sistema verdaderamente evolucione hacia una democracia más auténtica.

Lo que sí me parece justo reconocer es que España ha dado un ejemplo de que los políticos "de toda la vida" pueden ser desalojados de sus poltronas si la sociedad se siente engañada y estafada por ellos. Y este mensaje es bueno para todos. ¿Será nuestra nueva camada de jóvenes políticos capaz de afrontar con éxito los retos que supone llevar las riendas de un estado, sin caer de nuevo en los mismos errores de siempre? Eso... no lo sé.

Los españoles han dado muestras en esta ocasión de no tener miedo a un giro radical, a pesar de las incertidumbres que nos acechan por todas partes. Tal vez hemos sido arrastrados por el hartazgo hacia nuestra casta política y hemos votado de manera apasionada e ingenua, sin las cautelas que suelen tomar posturas más razonadas, más meditadas. Y quizás esta ingenuidad o ignorancia, como se quiera decir, se haya convertido esta vez en una de nuestras mejores virtudes.

Veremos lo que pasa.

Premonitorio Russell

“Y, al hablar de educación y democracia, es muy importante hacerlo con claridad. Sería desastroso insistir en un nivel absurdo de uniformidad. Unos niños son más inteligentes que otros y pueden obtener mejores resultados de una más esmerada educación. Unos maestros son más laboriosos o despiertos que otros, pero es imposible que todos los niños sean educados por los pocos maestros mejores. Aún cuando la educación más elevada fuera recomendable para todos –cosa que pongo en duda– es imposible realizarla hoy día, y una estricta aplicación de los principios democráticos nos llevaría a la conclusión de que ninguno debe tener acceso a ella. Eso sería fatal para el progreso científico, y rebajaría durante un siglo el nivel general educativo. El progreso no debe sacrificarse hoy en beneficio de una igualdad mecánica; debemos avanzar cuidadosamente hacia la democracia educativa para que en este proceso sea destruido el menor número de productos valiosos que actualmente van acompañados de la injusticia social”

Bertrand Russell

Desde que leí por primera vez este texto de Russell sentí que el filósofo británico había acertado de lleno en los problemas que puede generar el desarrollo de un sistema educativo en una sociedad democrática. Y también tengo la sensación de que en España no hemos sabido evitarlos. Paso a comentar con algo de más detalle cuáles son las razones que me llevan a pensar así.

1. La generalización de la educación a toda la población es sin duda un gran avance de las sociedades modernas, pero un sistema educativo que sólo ofrece un camino formativo para todos hasta una edad avanzada (por avanzada entiéndanse los 16 años de nuestro periodo de escolarización obligatorio) acaba no sirviendo bien a nadie. Se me dirá que nuestras leyes ofrecen la posibilidad de diversificar las enseñanzas, pero esta diversificación es muy limitada y tiene algo de ficticia. Los programas de diversificación en España se han entendido más bien como una rebaja de los aprendizajes exigibles para conseguir el título de graduado, pero esto no constituye una diversificación profunda, verdadera. Pensando en el ámbito musical, por ejemplo, es como si a todos se les dieran lecciones de guitarra, y a algunos se les diera de una manera más exigente y a otros más elemental y básica... ¿Pero y si alguno lo que deseara en realidad fuera tocar el piano, o el saxo? También se me dirá que el profesor debe tener habilidades para atender la diversidad en el aula, pero, si bien tal vez existen profesores capaces de llevar a cabo de manera eficiente esta atención individualizada y diferenciada a los alumnos, hemos de reconocer que el esfuerzo que puede suponer para el enseñante puede volverse insostenible cuando la diversidad entre los alumnos de un mismo grupo va más allá de lo razonable (y si el grupo es de 1º ESO y tiene 30 chicos el riesgo de trastorno psicológico profundo para el docente empieza a ser plausible...). Pensar que el enseñante debe poder arreglárselas con todo lo que se le venga encima es posiblemente pedir demasiado a cualquier profesional en cualquier ámbito de trabajo (sobretodo cuando no se le ha consultado en relación a los problemas que debe afrontar cada día y las posibles soluciones que pueden ayudar a mejorar su entorno laboral) ...

2. Del mismo modo que Russell menciona el problema de una uniformidad excesiva en un sistema educativo democrático, no se olvida de hacer notar que tampoco es fácil  contar con que todos sus profesores tengan la capacidad necesaria para ejercer su trabajo con un alto nivel de profesionalidad. Y debemos reconocer que en nuestro colectivo (como en muchos otros) tenemos un poco de todo, y que no siempre nos caracteriza la ejemplaridad en nuestras actuaciones. Pero esto no debería resultar tan sorprendente, dado que al universalizar la educación el número de docentes creció considerablemente, y los filtros de su selección se ajustaron a una nueva realidad.  La excelencia, después de todo, es una cualidad precaria en cualquier ámbito (ya sea el deportivo, el académico o el político). Russell deja bien claro esta circunstancia cuando escribe "Unos maestros son más laboriosos o despiertos que otros, pero es imposible que todos los niños sean educados por los pocos maestros mejores". 

3. Russell se percata de que tal vez nuestro ideal democrático de "una formación académica básica para todos", que se traduce en nuestro actual currículum escolar, que obliga a los alumnos a recibir formación de Matemáticas, Lengua, Historia, Ciencia, etc... hasta los dieciséis años puede no ser una meta social conveniente ("Aún cuando la educación más elevada fuera recomendable para todos –cosa que pongo en duda–..."). Aquí Russell (o al menos eso me parece) intuye que la diversidad de los seres humanos hace que querer hacer pasar a todos por el "mismo aro" puede ser un error. Tal vez hay jóvenes que deberían tener un currículum donde el deporte fuera el eje central de su formación, o las disciplinas artísticas, o las profesiones manuales, etc... En nuestro país ninguna de estas opciones se ofrece con seriedad antes del Bachillerato en el sistema educativo reglado, y dicha oferta es muy limitada.

3. Así pues, nuestro sistema educativo uniforme, junto con un excesivo énfasis en la comprensividad y la inclusividad, aplicado tanto a alumnos como a profesores (ya no existen en la práctica distinciones importantes entre profesores y catedráticos en los centros de secundaria, por ejemplo), nos ha puesto a todos al mismo nivel... Y para que ese nivel sea aceptado mayoritariamente no hay más remedio que mantenerlo bien bajo, puesto que, como mencionaba antes, la excelencia es un bien precario. Me interesa aquí recalcar esta doble vertiente que afecta por un lado al alumnado y por el otro al profesorado: Todos los estudiantes medidos por el mismo rasero; todos los docentes considerados con el mismo estatus.

4. ¿Quién sale perdiendo vistas las cosas así? Tal vez los alumnos no, que ven que superar su formación escolar no tiene especial dificultad... Tal vez los profesores no, que sabemos que nuestro salario depende sobretodo de los años ya impartidos de docencia y no del empeño que hayamos puesto en la labor... En el fondo la que pierde es la sociedad en su conjunto, que con una educación basada en objetivos tan parcos no puede hacer frente ni al progreso científico ni al social que requiere un mundo (por desgracia) todavía muy complejo y lleno de desafíos.

Como conclusión de lo anterior no nos  queda más remedio que retornar a Russell y confirmar sus malos presagios cuando advertía de que, si las cosas no se hacían con mucho cuidado al implantar un sistema educativo en una sociedad democrática, podían derivarse consecuencias muy perjudiciales para la misma. Y es que, en efecto, todo parece indicar que en España hemos sacrificado el progreso en beneficio de una igualdad mecánica.

Elefantes

INB Cervantes (Madrid)

Existen institutos de secundaria donde la edad media del profesorado es bastante alta. A menudo son institutos con mucha historia a sus espaldas, por los que han pasado incontables generaciones de alumnos.

Entre los profesores más jóvenes se habla a veces de estos centros como "cementerios de elefantes", por esa edad avanzada que posee gran parte de sus docentes. Por lo general, el término no se usa con ánimo de ofender, aunque a veces refleja cierto recelo por parte de las nuevas generaciones de enseñantes hacia "la vieja guardia".

Algunos piensan que sus métodos han quedado ya obsoletos, que no comprenden las necesidades de la juventud actual, que desconocen las nuevas herramientas tecnológicas y que no han sabido (o querido) actualizar su práctica docente. Después de todo, no saben de inteligencias múltiples, de aprendizaje dialógico, de trabajo cooperativo, de nuevas tecnologías ni de competencias básicas...

Cuando escucho comentarios de este tipo mi mente retrocede en el tiempo y recuerdo a mis profesores de instituto. Mis buenos y viejos profesores, por desgracia algunos fallecidos ya. Y tengo la absoluta convicción, con todo mi bagaje adquirido en relación con las nuevas tecnologías, las competencias básicas, los proyectos multidisciplinares y demás innovaciones educativas, que NO soy mejor docente que ellos.

Y les estoy profundamente agradecido por lo mucho y bien que me enseñaron.

Richard Feynman

Richard Feynman recibió el Premio Nobel de Física en 1965, y es considerado uno de los grandes científicos del siglo XX. Uno de los mejores documentales que he visto sobre ciencia, sobre su significado, y sobre lo que se siente al desarrollar una labor científica se titula "El placer de descubrir". Se trata de una sencilla entrevista a Feynman. Sencilla... y fantástica.

http://www.dailymotion.com/video/x24gwgc_richard-feynman-the-pleasure-of-finding-things-out_news

Math War

“¿Qué bien buscamos? Ciertamente no se trata de introducir a los estudiantes una colección de más o menos ingeniosos teoremas sobre bisectrices de ángulos de un triángulo o sobre la secuencia de los números primos, sino más bien enseñarles a ordenar y a enlazar sus pensamientos de acuerdo con los métodos que los matemáticos habitualmente usan, porque reconocemos en este ejercicio un modo de desarrollar una mente clara y un juicio excelente. Es el método matemático el que debería ser el objetivo de nuestra enseñanza, siendo los temas a tratar tan sólo ilustraciones bien escogidas del mismo.”

Jean Dieudonne

Hace unos años estuve muy interesado en lo que en EEUU se suele denominar la "Math War", enfrentamiento que durante un largo periodo de tiempo ha existido entre dos concepciones distintas de la educación matemática: Una que a menudo se califica de reformista o progresista, y otra que se asocia más a la educación conservadora o tradicional (si es que al final la política siempre se cuela de una manera u otra en toda discusión... ¡qué le vamos a hacer!). Esa confrontación también existe en nuestro país, pero no suscita el interés público suficiente para que los medios de comunicación se preocupen ni siquiera de darle un nombre, y la cosa se queda en tertulias (a veces muy encendidas) entre compañeros docentes.

El frente "progresista" aboga por las nuevas metodologías "centradas en el alumno" (constructivismo, aprendizaje basado en proyectos, integración con otras materias y saberes); el frente "tradicionalista" por la importancia de la clase magistral,  acompañada de la práctica necesaria para fijar las nuevas destrezas, y preservando la separación de materias a efectos de hacer más eficaz el aprendizaje.

Desde hace ya tiempo la mayor parte de las opiniones que se emiten en España sobre educación desde los medios de prensa o desde las autoridades educativas suelen ponerse del lado del frente "progresista" o "renovador". Suena mejor. Es más atractivo. Mola más. Y el problema es que cuando una autoridad educativa se decanta por uno de los dos frentes, tiene la tentación de y el poder para intentar que sus tesis se lleven a la práctica en los centros educativos que de ella dependen, invitando con mayor o menor cordialidad a que todo el cuerpo docente se sume a la visión educativa que, sin lugar a dudas para dicha autoridad, es la correcta.

Pero no parece tan claro que las tesis del frente renovador sean definitivamente ciertas o mejores, en contraste con las del frente tradicionalista (si quieren pueden intercambiar 'renovador' y 'tradicionalista' en la frase precedente). Porque no parece haber todavía pruebas claras que aboguen por una metodología frente a la otra. Y de un tiempo a esta parte tengo la sensación incómoda de que a los profesores se nos están dando directrices sobre cómo debemos enseñar argumentando sobre principios educativos que carecen del suficiente fundamento científico. ¿No será mejor entonces esperar un poco hasta que haya evidencias demostradas a favor de una u otra forma de enfocar la enseñanza, antes de exigirnos adoptar métodos de incierto resultado? O, mientras se van despejando las dudas, ¿no será mejor confiar en la capacidad de nuestros profesores y en su experiencia para realizar su labor?

Nota 1: Quiero hacer constar que he conocido buenos docentes en los dos frentes educativos.

Nota 2: Para contrarrestar la ingente cantidad de artículos de opinión a favor de la educación "renovadora", aquí van cuatro documentos a favor de la educación "tradicional" (sobretodo en el ámbito de la educación matemática).

1.  Frank. B. Allen - Programa para elevar el nivel de rendimiento académico en la educación secundaria en matemáticas
2.  E.D. Hirsch - El uso selectivo de la investigación I: Constructivismo
3.  E.D. Hirsch - Carta a la Junta de Educación del Estado de California
   
4.  Anderson, Reder, Simon - Educación: El Constructivismo Radical y la Psicología Cognitiva

Nota 3: Sobre las Math Wars

1. The Math Wars 1
2. The Math Wars 2
3. Math Wars

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La comparación de los datos estadísticos (Eurostat 2008 y PISA 2009) indica que no hay una relación lineal entre la posibilidad de repetición de curso prevista por la normativa y el uso de esta medida en la práctica. Entre los numerosos países donde su uso se permite pero está restringido por la normativa, las tasas varían significativamente. En educación primaria, algunos países como Grecia (2.0%) y Austria (4.9%) tienen tasas bajas de repetición, mientras que otros como Francia (17.8%), Portugal y los Países Bajos (22.4%) muestran tasas bastante más altas. En educación secundaria inferior estas tendencias persisten, con variaciones entre las tasas de los países que van desde el 0.5% en Finlandia hasta el 31.9% en España. 

La repetición de curso en la educación obligatoria en Europa: Normativa y estadísticas

Uno de los asuntos que en educación suele generar bastante polémica es el de la repetición de curso. ¿Es conveniente o perjudicial? ¿Debe evitarse a toda costa o, por el contrario, aplicarse siempre que se detecte un alumno con carencias en su formación académica?

Yo no lo sé. Nuestro sistema educativo permite la repetición de curso, con algunas limitaciones que evitan que la diferencia de edades entre alumnos del mismo grupo crezca de una manera desorbitada. A la vista de las distintas informaciones que se pueden encontrar en Internet, la presencia de alumnos repetidores en las escuelas depende fuertemente de la cultura escolar del país, más que de lo que establecen las leyes educativas correspondientes sobre este particular. Dicho de otro modo: Entre los países que permiten la repetición de curso, unos llevan a la práctica esta medida con bastante frecuencia (ejemplo: España) mientras que otros lo hacen en contadas ocasiones (ejemplo: Grecia).

A la vista de los pobres resultados en el aspecto educativo que obtiene nuestro país en las evaluaciones internacionales, es legítimo preguntarse si esta medida de la repetición beneficia o perjudica nuestro sistema de enseñanza. Yo ya he mencionado que no lo tengo en absoluto claro, pero sí considero que repetir curso no debería tratarse de una medida habitual. Y por habitual entiendo un 35%, por ejemplo. Todos los docentes conocemos las dificultades que entraña impartir clase en un grupo donde el número de repetidores es abundante, por diversas razones que no voy a detallar aquí. Pero quiero añadir un argumento distinto: Desde el momento en que la medida de la repetición se vuelve frecuente en un centro, el alumno deja de sentir la misma como algo que debe evitar a toda costa. Después de todo, si Fulanito no va a pasar de curso, tampoco lo van  a hacer Menganito y Zutanito, que a fin de cuentas pueden ser sus mejores amigos. Si repetir de curso es una cosa cotidiana, el hecho de que un año me toque a mí deja de ser un problema serio. Y esto no envía un mensaje bueno, porque, si bien es cierto que existen alumnos que por falta de madurez personal o académica necesitan de esta medida escolar, al menos en España debemos reconocer que a menudo la pereza se convierte en el pecado capital que los condena a la repetición. Si los alumnos de estas características la vieran como una especie de sanción a temer, de carácter extraordinario, que pueden evitar con el esfuerzo suficiente, tal vez se preocuparían más de no tener que llegar a ese extremo.

En cualquier caso, quiero recalcar que en ningún momento he defendido la supresión de la posibilidad de repetir curso. Tan sólo considero que debe administrarse con extremada cautela.

Es tan sólo una opinión.

Otros enlaces:

• Una reflexión interesante puede encontrarse en este artículo del Blog Profesor Atticus.

Presentación

La fuerza ejercida entre dos cuerpos de masas $m_1$ y $m_2$ separados una distancia $r$ es proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, es decir:

$$F=G\frac{m_1m_2}{d^2},$$

donde:

• $F$ es el módulo de la fuerza ejercida entre ambos cuerpos, y su dirección se encuentra en el eje que une ambos cuerpos.
• $G$ es la constante de gravitación universal.

(Ley de la Gravitación Universal - Wikipedia)

Las ciencias trabajan a menudo con magnitudes que se relacionan entre si, y entre las relaciones más básicas que pueden considerarse están la proporcionalidad directa y la proporcionalidad inversa.

Cuando dos magnitudes son directamente proporcionales, la razón entre cantidades correspondientes permanece invariante; como ejemplo, cuando vamos al mercado a comprar tomates y consideramos las magnitudes $x$="Número de kilos que compro" e $y$="Precio que pago por ellos", podemos observar que cantidades correspondientes de las variables $x$ e $y$ mantienen siempre la misma razón $y/x$ (o sea, el mismo cociente), que en este caso se corresponde con el precio que tiene un kilogramo de tomates.

Cuando dos magnitudes son inversamente proporcionales, el producto de cantidades correspondientes permanece invariante; así, si queremos leer un libro en un número determinado de días, digamos $x$, leyendo diariamente el mismo número de páginas $y$, el producto $x\cdot y$ debe permanecer constante, coincidiendo en este caso con el número total de páginas que tiene el libro en cuestión.

Las relaciones directas entre cantidades son las más frecuentes en nuestra vida cotidiana, y nos tropezamos con proporciones inversas en menos ocasiones. Y cuando se introducen estos conceptos a estudiantes jóvenes y se enfrentan a un problema que debe abordarse utilizando uno de ellos (que en cierto sentido son opuestos esntre si), resulta habitual que no tengan claro cuál es el más apropiado. Esta confusión es la que me ha llevado a dar el nombre de "Proporciones Inversas" al blog que nace aquí. En la vida se presentan muchas situaciones en las que verdaderamente no es fácil (al menos para mí) saber cómo deben afrontarse, y qué relaciones existen entre las distintas variables que las conforman, y cómo deben resolverse de manera satisfactoria. De esas situaciones conflictivas, principalmente relacionadas con la educación, la ciencia y la sociedad actuales, y del estado de perplejidad o confusión en el que me sumen, quiero dejar registro. Tal vez para aclararme las ideas al obligarme a redactar estas entradas; tal vez para que algún navegante que se tropiece con ellas me ayude a despejar dudas.

En cualquier caso, bienvenidos.