Inicio una serie de entradas que intentan explicar la razón de que no me gusten los libros de texto españoles de Matemáticas. Me centraré en la etapa de la ESO, por ser crucial en el asentamiento de los conocimientos fundamentales matemáticos que serán necesarios en etapas posteriores.
Razón 1: Las referencias a las propiedades básicas de los números y sus operaciones son nulas o muy escasas.
La respuesta a una época en la que se pecaba de excesivo formalismo en la enseñanza nos ha llevado a una época en la que se ignoran casi por completo las propiedades fundamentales de los números y de sus operaciones. Me refiero en particular a las propiedades de la suma y el producto de números reales:
- Propiedad conmutativa de la suma: $a+b=b+a$ para todo $a,b\in\mathbb R$
- Propiedad asociativa de la suma: $(a+b)+c=a+(b+c)$ para todo $a,b,c\in\mathbb R$
- Propiedad del elemento neutro de la suma: $a+0=0+a=a$ para todo $a\in\mathbb R$
- Propiedad del elemento opuesto de la suma: Para todo $a\in\mathbb R$ existe un número opuesto $(-a)$ tal que $a+(-a)=0$
- Propiedad asociativa del producto: $a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$ para todo $a,b,c\in\mathbb R$
- Propiedad conmutativa del producto: $a\cdot b=b\cdot a$ para todo $a,b\in\mathbb R$.
- Elemento neutro del producto: $a\cdot 1=1\cdot a=a$ para todo $a\in\mathbb R$
- Elemento inverso del producto: Para todo $a\neq 0$ existe un número inverso $1/a$ tal que $a\cdot 1/a=1$
- Propiedad distributiva: $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ para todo $a,b,c\in\mathbb R$
De todas ellas tan solo suele aparecer la existencia del opuesto y el inverso de un número y la propiedad distributiva por su importancia en el álgebra, pero siempre falta una visión completa y general de este grupo fundamental de propiedades. Las palabras conmutativa y asociativa han desaparecido completamente de muchos textos de secundaria, Esto es un pecado matemático. Evidentemente, el nivel de abstracción a la hora de abordarlas debe ir creciendo gradualmente, pero en un curso como 3º ESO podría iniciarse ya una aproximación más formal.
La completa ignorancia de estas leyes nos lleva a decir cosas en clase que, bien pensadas, son de una cierta pobreza matemática. Por ejemplo, he llegado a ver en algún texto, al abordar la jerarquía de las operaciones con números, cosas del tipo siguiente:
"Primero se realizan las multiplicaciones y divisiones (de izquierda a derecha), y a continuación se realizan las sumas y restas (de izquierda a derecha)."
¿Cómo calcular entonces la expresión $143-227-435+125-143+1+435-125+227$?
¿De izquierda a derecha?¿Sumando primero los positivos, después los negativos, y realizando la resta a continuación? ¿O será mejor usar las propiedades asociativa, conmutativa y del elemento opuesto? La idea que quiero transmitir es la siguiente: A partir de cierto momento es conveniente presentar los principios formales sobre los que se sustenta la aritmética de los números, y ayudar así al desarrollo del pensamiento abstracto en el alumno. La manía actual de querer contextualizar todos los aprendizajes, manía que se refleja en nuestros libros de texto, usurpa al alumno un acercamiento más abstracto a conceptos y propiedades, y eso es precisamente ir en contra de la (verdadera) competencia matemática.
